String notes-3.9

3.9 引力常數與緊致化

    若弦論正確，我們的世界將存在於更高的維度之中，且基本的引力定律就需要建立在具有更高的維度上的 Planck length。在我們只能觀測到四維的世界下，額外維捲曲形成一個小體積的緊致空間。那：四維 Planck length 的有效值代表著什麼？這是此處將要證明的，即是四維 effective Planck length 決定於額外維的體積(等於額外維的 Planck length 乘積)，也就是更高維 Planck ength 值。

    目前有關測提出在實際四維世界中的 Planck length 為 $$10^{-33}$$ cm，可能與更高維度下的基本 Planck length 不同。是否更高維度的 Planck length 比四維中的長度要大？這個問題的答案將在下一節中討論。本節中將討論引力常數的緊致性質。 

    在五維空間中得到的引力常數，該如何得出它在四維中的大小呢？假若認定捲曲起來的這個空間維度(第五維)不影響四維的時空。我們將看到這些引力常數間的關係將受到額外維的大小(捲曲的大小)影響。因此我們考慮一個五維時空，它其中一個為度捲曲成一個半徑為R的小圓，而我們已知 $$G^{\left(5\right)}$$，而求得其與 $$G^{\left(4\right)}$$ 的關係。

    令 $$x^1$$、$$x^2$$、$$x^3$$ 代表三個空間維度，$$x^4$$ 代表一個圓周為 $$2\pi R$$ 的緊致維度。我們放入一個質量為 $$M$$ 的均勻圓環，其中座標 $$x^1=x^2=x^3=0$$ 均繞著這個環。我們關心的是這個環形成的質量分佈，所造成的引力勢能 $$V^{\left(5\right)}_g$$。或者可以放一個質點在 $$x^4$$ 上某處，但這樣的計算將會更複雜。在目前的例子中，引力勢能 $$V^{\left(5\right)}_g$$ 與 $$x^4$$ 無關。環的總質量可寫成 $$M=2\pi R m$$，$$m$$ 為每單位長度的質量(即密度)。

    什麼是第五維世界中的質量密度？也就是在 $$x^1=x^2=x^3=0$$ 上不為零的值。我們可用 $$\delta$$ 函數來表示。$$\int\nolimits^{-\infty}_{\infty}dx\delta\left(x\right)$$ 積分代表，若 $$x$$ 具有長度的單位，則 $$\delta\left(x\right)$$ 為長度的倒數。因為第五維的質量集中於 $$x^1=x^2=x^3=0$$ 位置，因此可合理的寫下...